Hipoteze u matematici

Rimanova hipoteza

Rimanova hipoteza je pretpostavka o distribuciji netrivijalnih nula Rimanove zeta-funcije \zeta(s)\,. Prvi put je formulisana u radu Bernarda Rimana iz 1859: O broju prostih brojeva ispod zadate veličine (nem. Über der Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe). Od tada, i pored ogromnih napora, ovaj problem i dalje ostaje nerešen.

Rimanova zeta-funkcija je definisana za sve kompleksne brojeve s ≠ 1, i ima trivijalne nule u parnim negativnim celim brojevima (s = −2, s = −4, s = −6, ...). Rimanova hipoteza kaže da se sve netrivijalne nule nalaze na jednoj pravoj u kompleksnoj ravni, konkretno:

Realni deo bilo koje netrivijalne nule Rimanove zeta-funcije je ½, odnosno sve netrivijalne nule se nalaze na kritičnoj liniji ½ + it.


Istorijat


Rad iz 1859. je Rimanov jedini ogled u teoriji brojeva, ali je hipoteza izneta u njemu jedan od najznačajnijih nerešenih problema u savremenoj matematici, pre svega zato što se dosta važnih rezultata oslanja na važenje ove hipoteze (recimo u kriptografiji, faktorizaciji celih brojeva i polinoma).

Legenda kaže da se kopija sakupljenih Rimanovih radova u Hurvicovoj (engl. Adolf Hurwitz) biblioteci nakon njegove smrti sama otvarala na strani na kojoj se nalazio iskaz Rimanove hipoteze.

David Hilbert je na Drugom međunarodnom kongresu matematičara u Parizu, 8. avgusta 1900. godine postavio problem Rimanove hipoteze kao jedan od dvadesettri Hilbertova problema (problem broj osam). Za Hilberta je Rimanova hipoteza imala poseban značaj, kada su ga pitali šta bi najpre uradio nakon 500-godišnjeg sna, Hilbert je odgovorio da bi prvo pitao da li je Rimanova hipoteza dokazana.

Godfri Harold Hardi (engl. Godfrey Harold Hardy) je 1914. godine dokazao da se na kritičnoj liniji ½ + it nalazi beskonačno mnogo nula.

Rimanova hipoteza je jedan od sedam Milenijumskih problema Matematičkog instituta Klej.


Pokušaji dokazivanja


Rimanova hipoteza je kao i Poslednja Fermaova teorema bila inspiracija za nebrojene pokušaje dokazivanja, gde su podjednako neuspešni bili i vrhunski i matematičari amateri. Kada je 1995. godine engleski matematičar Endru Vajls izveo dokaz Fermaove poslednje teoreme - fokus matematičke zajednice je preusmeren na Rimanovu hipotezu, najistaknutiji nerešeni problem u matematici danas. Ovde su nabrojani značajni nauspešni pokušaji u novom milenijumu.

Mati Pitkanen (Matti Pitkanen) u septembru 2001, povukao dokaz zbog greške u novembru iste godine.

Karlos Kastro (Carlos Castro), i Horge Maheha (Jorge Mahecha) su u seriji radova od 2001. do 2006. godine probali da izgrade teoriju (koristeći supersimetrije i kvantnomehanički pristup) koja bi omogućila dokazivanje Rimanove hipoteze. Njihov pristup je odbačen.

Kaida Ši (Kaida Shi) u julu 2003. godine, dokaz sadržavao grešku.

Luj d'Branž (Louis de Branges de Bourcia) u julu 2004. godine, nađen kontraprimer. Autor je kasnije objavio Izvinjenje za dokaz Rimanove Hipoteze.

Jinžu Han (Jinzhu Han) u junu 2007. godine, dokaz sadržavao grešku.

Andrej Madrecki (Andrzej Madrecki) u julu 2007. godine, dokaz sadržavao grešku.

Lev Aizenberg (Lev Aizenberg) u decembru 2007. godine, povukao dokaz zbog greške u januaru 2008. godine.

Ksian-Jin Li (Xian-Jin Li) u julu 2008. godine, nekoliko dana kasnije je povukao dokaz zbog greške (na strani 29).


Potraga za nulama Rimanove zeta-funkcije


Dugo se verovalo da je Rimanova hipoteza rezultat duboke intuicije i osećaja za problem. Karl Ludvig Sigel (Carl Ludwig Siegel) je, međutim, u tridesetim godinama prošlog veka analizirajući Rimanove rukopise pronašao račun za prvih nekoliko nula na kritičnoj pravoj, na nekoliko decimalnih cifara tačnosti.

Rimanova hipoteza je numerički proverena za prvih 1013 nula (za vrednosti t na kritičnoj liniji do 2,4·1012). Ovaj rezultat su 2004. godine dobili Havier Gordon (Xavier Gourdon) i Patrik Demišel (Patrick Demichel) koristeći Odlizko-Šonage (Odlyzko-Schönhage) algoritam[10] iz 1988. godine.

Sve poznate vrednosti t za nule na kritičnoj liniji su po svemu sudeći iracionalni brojevi.

Sve poznate nule su prvog reda. Iako postojenje nula višeg reda ne bi opovrglo Rimanovu hipotezu - izazvalo bi ozbiljne probleme za dosta savremenih računskih tehnika.